ファストX

Scientific Reports volume 12、記事番号: 19097 (2022) この記事を引用

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1 オルトメトリック

メトリクスの詳細

X 線コンピュータ断層撮影 (CT) は、乗客の手荷物などの大きな物体を画像化するための商業的に確立されたモダリティです。 CT は密度と有効原子番号を提供しますが、爆発物や麻薬などの脅威は、良性のプラスチック、ガラス、または軽金属と同様の組成を持つ可能性があるため、これらを特定するには必ずしも十分ではありません。 このような場合、脅威を区別するには X 線回折 (XRD) の方が適している可能性があります。 残念ながら、回折光子束は通常、透過光子束よりもはるかに弱いです。 したがって、高品質の XRD データの測定は CT に比べて遅くなり、空港などの潜在的な顧客にとっては経済的な課題となります。 この記事では、CT 信号と XRD 信号を同時に捕捉し、可能な限り最小限のコリメーションを使用して光束を最大化する、新しい低コストのスキャナー設計を数値的に分析します。 現実的な機器をシミュレートするために、多色スペクトル、検出器、およびすべての有限サイズの幾何学的要因の解像度制限効果を含む順モデルを提案します。 次に、複数の回折物体を含む大きなファントムから XRD パターンを再構成する方法を示します。 適切な量​​のフォトンカウンティングノイズ (ポアソン統計) と測定バイアス (インコヒーレント散乱) が含まれています。 当社の XRD 再構成では、低解像度ではありますが、材料固有の情報が既存の CT 画像に追加されるため、脅威の検出が向上します。 当社の理論モデルは GPU (グラフィックス プロセッシング ユニット) で高速化されたソフトウェアに実装されており、セキュリティ、ヘルスケア、製造品質管理のアプリケーション向けのスキャナ設計をさらに最適化するために使用できます。

X 線コンピュータ断層撮影 (CT) は、空港のセキュリティ検査のスーツケースなど、広い関心領域 (ROI) にわたる X 線透過の測定に基づいています。 複数の角度からこの測定を実行した後、オブジェクトの 3D 密度を数学的に再構築することが可能です。 マルチエネルギーCTでは、平均組成（実効原子番号）を3次元で推定することもできます。 セキュリティ用途では残念ながら、脅威物質 (薬物、爆発物) の密度と原子番号は、無害な金属、セラミック、プラスチックの密度と原子番号に非常に似ている可能性があります。 X 線回折 (XRD) を使用すると、より具体的な物質の指紋を測定できます。 原子の空間配置に非常に敏感であり、それは何千もの異なる材料にわたって非常に区別されます。 XRD は、結晶の周期構造により非常に鋭い回折ピークが生じるため、結晶の識別に特に適しています。 実際、多くの脅威は結晶、結晶粉末、または半結晶化合物物質 (結晶メタンフェタミン、コカイン、および TNT や RDX などの一般的な爆発物) であるため、これはセキュリティ スクリーニングに有利です。

材料を識別できるかどうかは、再構成された回折パターンの解像度に依存します。 空間的にも X 線エネルギー スペクトルに関しても、厳密なコリメーションによって解像度を高めることができます。 コリメーションの欠点は光子束 1 の損失であり、これを補償するには長い測定時間が必要になります。 したがって、解像度と光束の間の合理的なトレードオフが、経済的に実行可能なスキャナの鍵となります。 空間解像度についても考慮する必要がありますが、何ポンドもの爆発物や麻薬が詰め込まれたスーツケースなど、最も悪質な脅威を検出することが目的のセキュリティ アプリケーションでは、それほど重要ではありません。 少量の脅威、または同じスーツケース内の多数の異なる小さな脅威は、この調査の範囲を超えています。 したがって、特に明記しない限り、空間解像度ではなく回折パターンの解像度に注目します。

実際の空港セキュリティ設定で得られる良好な解像度の例は、参考文献 2 に記載されています。 彼らのワークフローは 2 台のマシンで構成されています。最初に CT (コンピューター断層撮影) スキャンを行って潜在的な脅威オブジェクトにフラグを立て、次に 2 番目に X 線回折計を通過させて、より具体的な物質のシグネチャを提供します。 物体のXRDパターンを高解像度で測定するために、著者らはX線ビームの開口部を細い鉛筆の形に制限し、狭い範囲の散乱角のみを受け入れるように検出器の前にコリメータを追加しました。 著者らは、1.6 kW で動作する X 線管を使用して、53 日間にわたって 4,182 個の旅客手荷物品物、つまり 1 時間あたり 3 ～ 4 個の荷物をスキャンしました。 同様の 2 段階システムである XRD 3500 が、いくつかの空港で商業的に導入されています3。 また、コーンビーム光源を使用した別の設計が Halo technology によって特許を取得しています4。 これらの初期の成功事例にもかかわらず、XRD断層撮影法が商業航空に広く採用されるためには、速度、コスト、精度のさらなる向上が必要です。

光子束を増加させるための主な手段はコリメーションの量を減らすことですが、これは測定される回折パターンの解像度の損失につながります。 解像度は、異なる X 線エネルギーで取得された回折データと、関心領域 (ROI) に関する複数の線源と検出器の位置から取得された回折データを組み合わせる計算技術を使用して部分的に回復できます。 XRD パターンを再構築するために、さまざまな数学的および統計的アプローチが使用されています。 たとえば、医療用乳房イメージングに必要な光子数が非常に少ない場合、参考文献 5 は、フィルター逆投影法 (FBP) と比較して、ポアソン尤度最大化が優れた XRD 再構成品質を提供することを実証しています。FBP の主な利点は、計算能力にあります。スピード6.

XRDイメージングの場合、少なくともある程度のコリメーションは避けられないと思われ、境界設定、コード化された開口、およびそれらの組み合わせを含むさまざまなオプションが文献で議論されています。 Ref.7 は、ファン面に対して垂直にコリメートされた検出器と組み合わせて、ファンビーム形状を使用しています。 この形状は「第 3 世代 XRD-CT」と呼ばれることもあり、参考文献 8 で実験的に検証されています。 1 つのスライスを再構成すると、\((1+2)\) 次元の画像が得られます。つまり、1 次元の回折パターンが 2 次元平面で分解されます。 このシステムは特許を取得しています。参考文献 9 を参照してください。

特に完全な多色スペクトルを使用し、検出器の前にかなりオープンなコード化開口部を使用する場合、細いペンシルビーム源を使用した場合でも、妥当な XRD トモグラフィー速度が実証されています (参考文献 10 を参照)。 Ref.11 では、著者らは単色のペンシルビームも使用していますが、CT と XRD の再構成を単一のエッジ保存アルゴリズムに組み合わせ、ファントム内の各オブジェクトの回折パターンを強制的に一定にすることで、低光束を相殺しました。 その後の研究である参考文献 12 では、同じ著者が検出器コリメータの代わりにコード化開口を使用しており、これにより光束は増加しましたが、分解能は減少しました。 許容可能な解像度を維持するために、著者らは、回折ビーム経路に沿った減衰をより適切に考慮するためにマルチエネルギー CT 情報を使用するだけでなく、画像セグメンテーションの重要性を強調しました。

参考文献 13 では、著者らは多色ファンビームを使用して CT 信号と XRD 信号の両方を同時に測定しました。 エネルギー分解検出器は、光束を犠牲にして分解能を高めるために平行化されました。 再構成された XRD パターンはかなり高品質ですが、論文では必要な測定時間については言及されていません。

検出器コリメータをコード化開口に置き換えることにより、さらに大きな光束を達成できます (Ref.14)。 この研究では、スキャンごとに 2 つのビュー (スナップショット断層撮影) のみを使用し、1 つの水瓶を画像化しました。 あるいは、照明されたスライスの小さな領域から回折を再構成するだけでよい場合は、イメージング時間を 6 分の 1 に短縮できます (参考文献 15 を参照)。 水に関するこれらの例は、XRD トモグラフィーが結晶材料だけでなく液体に対しても実行可能であることを示しています。 参考文献 16 では、著者らは、水、脂肪、コラーゲン、およびリン酸三カルシウム (骨の代替品) を含むファントムの回折パターンを再構築しました。 このような生物学にインスピレーションを得た材料は結晶ではなく非晶質であるため、回折パターンは非常に滑らかです。 それにもかかわらず、XRD 再構成ではそれらを明確に区別することができました。

別のタイプの絞りである回折格子干渉計は、硬 X 線透過に基づいて暗視野画像を測定するために使用されました 17。 標準的な X 線写真と比較すると、散乱断面積が大きい特徴 (骨) は、弱い散乱体 (肉) よりも明るく表示されます。 フラックスを犠牲にして画質は CT よりも向上しましたが、結果は XRD ほど材料固有ではありません。

新しい XRD 断層撮影イメージング モダリティは、X 線管技術の継続的な改善 18 と、ピクセル化されたエネルギー分解検出器の利用可能性の増加 19 によって可能になりました。 爆発物の検出については、参考文献 20 にコヒーレント散乱コンピュータ断層撮影法、エネルギー分散型 X 線回折断層撮影法、およびコンプトン後方散乱イメージングが詳しく紹介されています。 将来の見通しについて議論する際、参考文献 21 は、単一の電子ビームが複数の陽極に偏向される多焦点 X 線源 (MFXS) について指摘しています。これにより、可動部品の必要性が回避され、スキャン速度の向上とメンテナンスの軽減に役立つはずです。費用がかかります。 参考文献 22 は、検出器のエネルギー分解能の重要性を示しています。 彼らは、CdTe 検出器の特性を評価し、その相対エネルギー感度が 2.5nm\(^{-1}\) の運動量移動で約 6% であることを発見しました。 マルチエネルギー検出器は、たとえば透過型 CT23 にとって問題となる可能性のある高い光子束の場合に使用できるように、積極的に開発されています。 透過型 CT は 30 ～ 180 keV の高エネルギー範囲で動作しますが、回折トモグラフィーはより低いエネルギーで恩恵を受けるため、回折ピークの間隔が広くなり、回折パターンの解像度が高くなります。 さらに、XRD 検出器が高フラックスで飽和するリスクはありません。 むしろ、より優れたエネルギー分解能は、XRD 再構成の品質に直接影響を与えるため、非常に歓迎されます。

専用のシンクロトロン施設は日常的に XRD トモグラフィーを使用して、さまざまなサンプル (多結晶粒子など) の非常に高解像度の測定値を取得します (参考文献 24 を参照)。 このような品質は、シンクロトロン X 線ビームの非常に高い光束と固有のコリメーションによって可能になります。 複合屈折レンズ (CRL) やカークパトリック・バエズ (KB) ミラーなどの X 線光学系を使用してさらに集束することもできますが、それらはすべて高真空と広いスペースを必要とします。 \({\mathcal{O}}(10 \,{\text{m}})\)、空港のセキュリティ設定ではすぐに利用できません。 XRD マイクロトモグラフィーは、コンクリートなどのさまざまな工学材料の空間的に分解された回折パターンを明らかにできます。参考文献 25 を参照してください。 測定の分解能は、空間的にも回折パターンの軸に沿っても優れています。 しかし、非常に高価な粒子加速器（シンクロトロン施設）を使用し、それでも捕捉には8時間かかりました。

これまでのところ、XRD 断層撮影法はセキュリティ環境において大規模に商業的に採用されていません。 主な障害は、撮影時間とコストです。 それにもかかわらず、XRD イメージングは​​、現在使用されている他のモダリティよりもはるかに高い特異性で物質を識別できる独自の能力があるため、追求する価値があります。 全体として、システムの速度、コスト、解像度の間にはトレードオフの関係があります。 この理論論文での私たちの目的は、これらの競合する目標の間で合理的なバランスをとり、全体の設計が実際にどのように価値があるかを実証することです。

この記事では、空港セキュリティにおける XRD 断層撮影の経済的に有望な設計を紹介します。 重要な要件は、新しいハードウェアのコストを最小限に抑えながら、XRD スキャン時間を短縮して、すでに普及している CT モダリティと同等になるようにすることです。 これらの実際的な制約により、XRD データの解像度は制限されますが、それでも CT 単独よりも有益な情報が得られます。 マルチエネルギーイメージングの場合、CT は各材料について最大で 2 つの数値、たとえば密度と有効原子番号を提供できます。 XRD モダリティが材料ごとに少なくとも 1 つの追加パラメータを提供できる場合、すでに脅威検出能力の大幅な向上につながるでしょう。 ここでは、GPU (グラフィックス プロセッシング ユニット) やクラウド サービスなどのコンピューター ハードウェアの価格が下がり続けているのに対し、線源や検出器などの X 線イメージング コンポーネントの価格は比較的固定されているため、計算速度については心配していません。 言い換えれば、私たちは高価な高品質画像処理ハードウェアの代わりに、コンピューティングに大きく依存するつもりです。

以前の設計の一部を借りて、多色ファンビームと 2D エネルギー分解検出器を使用します。 重要な新しさは、私たちの検出器にはコリメータであろうとコード化された開口であろうと、デリミテーターがまったくないことです。 私たちの知る限りでは、これにより、XRD 断層撮影で達成可能な最高の光束が得られます。 それにもかかわらず、回折光子数は非常に少なくなりますが、再構成された CT データ (当然、はるかに多くの数が含まれます) に対して画像セグメンテーションを実行することで対処します。 セグメンテーションの目的は、スーツケースを少数の異なる材料に細分することにより、XRD 再構成の未知数を減らすことです。 同様のアイデアが参考文献 12 で実装されましたが、コード化されたアパーチャを削除し、より多くのビューを使用し、より多くの検出器ピクセルをインストールする点が異なります。

スーツケースは、イメージング プレーンを通ってベルトコンベア上を移動する際に、スライスごとに (2D で) 照明されます。 計算ワークフローは次のとおりです。

X 線透過データを使用してマルチエネルギーコンピュータ断層撮影 (MECT) 再構成を実行します。 このステップは空港で広く使用されており、リアルタイムで利用できます。たとえば、参考文献 26 を参照してください。

画像セグメンテーションを適用して、意味のあるオブジェクトを識別します。 このステップも広く使用されています。参考文献 27 のレビュー記事を参照してください。 さらに、同じスーツケース内の複数の物体が同じ密度と原子番号を持っている場合、それらは同じ材料で作られていると想定でき、XRD 再構成の未知数がさらに減ります。 未知のものは、セグメント化された画像内のそれぞれの固有の物質の回折パターンです。

MECT からの空間分解された X 線減衰と、スキャナーの形状とスペクトル特性に関する完全な知識を使用して、予想される XRD 信号のフォワード モデルを構築します。 この手順はこの記事の主な焦点であり、次のセクションで説明します。

XRD 画像を再構築します。つまり、観察されたデータと最も一致する各材料の回折パターンを見つけます。

再構成された回折パターンを既知の脅威物質および無害物質のデータベースと比較します。 国際回折データセンター (ICDD)、無機結晶構造データベース、結晶学オープン データベース (COD) など、幅広い材料に利用できるデータベースがいくつかあります。 再構成された回折パターンが既知の脅威物質のいずれかと一致する場合、スーツケースには手動検査などの完全検査のフラグが立てられます。 XRD 以外の入力値 (例: オブジェクトのサイズと形状)、およびセキュリティ オペレーターが利用できる乗客、フライトなどに関するその他の情報を考慮に入れることができます。

この記事の新規性は、イメージング ワークフロー全体のステップ 3 である XRD 画像形成の詳細なフォワード モデルです。 送信 (ステップ 1) とセグメンテーション (ステップ 2) がすでに実装されていることを前提としています。 さらに、関連する機器パラメータ (形状、線源スペクトル、検出器の応答など) がすべて既知であると仮定します。 この記事では、すべての入力が正確にわかっていますが、実際のスキャナーではいくつかの不完全性があり、結果として XRD の品質が低下します。 不完全性を軽減する校正手順だけでなく、さまざまな補正 (ソフトウェアおよびハードウェア ベース) を適用するのが一般的です。 これらすべての影響が XRD 再構築の品質にどのような影響を与えるかを評価することは、この記事の範囲を超えています。

再構築とフィンガープリンティング (ステップ 4 と 5) も、脅威検出ワークフローの重要な段階であり、さらなる作業が必要です。特に、スーツケース内で見つかった物質と潜在的な脅威の大規模なデータベースの収集が必要です。 この記事では、私たちの設計による脅威の検出が原理的に可能であることを示すために、これら 2 つのトピックについて簡単に触れるだけです。 スキャナーの商業的魅力を高めるには、後処理領域でさらなる努力が必要です。

XRD フォワード モデルの開始点を図 1 に示します。この例の空間解像度は \(200\times 200\) ピクセルです (MECT の機能に応じて実際には変化します)。 図 2 に示すように、線源と検出器はこの関心領域 (ROI) の周りを回転しますが、MFXS のようなより複雑な配置にも対応できます。 この記事では 2D スライスを 1 つだけ使用します (将来の開発では、マテリアルあたりのフォトン数を増やすために複数のスライスを組み合わせる必要があります)。 スライスは、照明されたウェッジの厚さによって定義されます (図 3 を参照)。この厚さはゼロではないため、2D 「ピクセル」は、たとえその層が 1 つだけであっても、以降ボクセルと呼ばれます。

XRD断層画像プロトタイプ。 我々は、(1) MECT で再構成され、(2) 意味のあるオブジェクトにセグメント化され、(3) 個別のマテリアルにグループ化されたと想定されるスーツケース ファントムの 2D スライスを示します。 この情報とシミュレートされたノイズを含む XRD 信号を使用して、各未知の材料の回折パターンを再構築し、既知の材料のデータベースに対してフィンガープリントを作成します。 したがって、XRD 断層撮影画像は幾何学的には MECT と同じですが、各オブジェクトに特定の材料を割り当てるより豊富な凡例があり、ここではカラー バーで示されています。 XRD 拡張画像は、標準 MECT から得られる単なる密度と有効原子番号よりも有益です。

散乱ジオメトリの上面図。 図内の記号は次のとおりです: \({\textbf{a}} = \hbox{ソースからボクセルへのベクトル}\)、\(b = \hbox{ボクセルから検出器へのベクトル}\)、\(\デルタ x\) と \(\デルタ y\) は、水平面内のボクセルの寸法です。 X 線光子を放出する陽極面は単位ベクトル \({\hat{\textbf{n}}}\) に沿って配向されますが、検出器のピクセル表面は配向表面積 \({\textbf{A }}\) 単位は mm\(^2\) です。 ROI は固定され、線源検出器アセンブリが反時計回りに回転し、\({\text{SRC}}=32\) の離散角度でデータを記録します。

散乱ジオメトリの側面図。 図内の記号は次のとおりです: \({\textbf{a}} = \hbox{ソースからボクセルへのベクトル}\)、\(b= \hbox{ボクセルから検出器へのベクトル}\)、\(\デルタ z\) はトンネル (z) 軸に沿ったボクセルの厚さ、\(\デルタ y\) はボクセルの面内幅です。 X 線光子を放出する陽極面は単位ベクトル \({\hat{\textbf{n}}}\) に沿って配向されますが、検出器のピクセル表面は配向表面積 \({\textbf{A }}\) 単位は \(\hbox{mm}^2\) です。 回折検出器パネルの最初の行が示されており、その中心位置は線源面より上の高さ \(z_0\) にあります。 同様の図が参考文献 12 にありますが、主な違いは 1D 散乱コリメータが完全に削除されていることです。

XRD スキャンは、合計 \(M = {\text{SRC}}*{\text{COL}}*{\text{ROW}}*{\text{NRG}}\) の測定値で構成され、ラベル付けされます。実行インデックス \(m=1,2,\ldots ,M\) を使用します。 この記事では、\({\text{SRC}} = 32\) ソース位置 (視野角)、\({\text{COL}} = 1024\) 検出器列、\({\text {ROW}} = 1\) の検出器列と \({\text{NRG}} = 64\) のエネルギー チャネル。 MECT 再構成により、図 1 の各ボクセルのエネルギー \(\mu (E)\) の関数として X 線減衰係数が得られます。XRD スキャンから求める唯一の未知の要素は、回折パターンの値です波数ベクトル伝達の関数として。 合計で \(K = {\text{NWT}}*{\text{MAT}}\) 個の未知数が存在します。ここで \({\text{NWT}} = 256\) は選択した波数ベクトル転送グリッド点の数です、\({\text{MAT}} = 3\) はファントム内のマテリアルの数です。 個々の未知数も同様に実行インデックス \(k=1,2,\ldots ,K\) でラベル付けされます。 測定された光子の数 \({\textbf{N}} = N(m)\) と未知数 \({\textbf{F}} = F(k)\) の関係は線形です (参考文献 12 を参照) ) であり、列ベクトルを使用した行列乗算の標準形式で表現できます。

モデル行列 \({\mathbb{A}}\) の次元は、[M, K] または合計 \(1.6\times 10^9\) 要素です。 これらの各要素には、考えられるすべての散乱経路の寄与が含まれます。これは、ボクセル数とエネルギー チャネルの数の積、つまり \(2.56\times 10^6\) です。 最後に、各散乱経路の可能性は、選択したステップ サイズで割った最大長 \(200\sqrt{2}\) のファントムを横切る線積分である減衰による光子の生存確率によって重み付けされます。この場合、これは 0.25 ピクセルです。 総計は \(10^{18}\) (1 京) の数学演算を超えています。 私たちは、CUDA (Compute Unified Device Architecture) を使用して、この計算困難なタスクを GPU に実装しました。 Titan V でマトリックスを構築するのにかかる一般的な時間は約 1 時間ですが、ファントムのサイズと解像度、およびスペクトルによって大きく異なる場合があります。 この文書で説明したものよりも高度なアルゴリズムを使用することで、大幅に高速化できる余地があります。 1 つのアイデアは、線積分ごとに個別の合計を実行するのではなく、一連の部分線積分 (累積和) を一度に計算することです。 さらに、マルチ GPU ハードウェアとクラウド コンピューティングは非常に手頃な価格になりつつあり、並列スレッドに自然に分離されるため、私たちの問題に最適です。 いずれの場合でも、行列 \({\mathbb{A}}\) がわかれば、線形代数ソルバー、正則化器、ニューラル ネットワークなど (「考察」セクションを参照) の完全な武器を使用して、逆行列 \ を求めることができます。 ({\textbf{F}} = {\mathbb{A}}^{-1}\cdot {\textbf{N}}\)、回折パターン \({\textbf{F}}\) が明らかになります。フォトン数が \({\textbf{N}}\) であるとします。 この記事では、一般に強いポアソン ノイズの場合にうまく機能する Lucy-Richardson 法を使用しました。

各回折測定 m について、光子が線源から検出器まで移動した可能性のあるすべての経路の確率を加算する必要があります。 光源は幅の広いファンビームを放射するため、光子は照射されたファントムスライス内の任意のボクセルに到達することができ、そこから回折して任意の検出器ピクセルに到達することができます。 ファントムは大きいため、線源からボクセルまでの区間とボクセルから検出器までの区間の両方で X 線の減衰を考慮することが重要です (減衰係数は MECT から既知です)。 また、ビームは多色であり、検出器はエネルギーに敏感であるため、光源スペクトル全体の確率とそのスペクトルに対する検出器の応答を合計する必要があります。 数学的には、この段落はすべてのボクセルとソース エネルギー チャネルの合計として要約できます。

さらに詳しく言えば、要因は次のとおりです。

幾何学的因子 G には、三角法、立体角などが含まれます。「ソース軌道」セクションと「散乱幾何学」セクションで計算します。

ソーススペクトルとそれに対する検出器の応答 \(\eta\) については、「エネルギースペクトルと検出器の応答」セクションで詳しく説明します。

ソースからボクセルまでの入射フォトン生存確率 \(P_{{\text{in}}}\) と、ボクセルからボクセルへの出射フォトン生存確率 \(P_{{\text{out}}}\)検出器。 それらは両方とも、以前の MECT 再構成から知られている X 線減衰 \(\mu (E)\) に依存しており、それらを計算する方法を「ビーム減衰」セクションで示します。

単位体積あたりの微分散乱断面積 F(k) (材料、X 線エネルギーと散乱角の組み合わせによって異なります)。 「回折パターン」セクションでは、文献に記載されている回折パターンを使用してイメージング ワークフローでグラウンド トゥルースを生成する方法を示します。

最後の要素は微分散乱断面積 F(k) で、これは XRD 再構築を目的とした未知数の列です。 ただし、グラウンドトゥルース測定データをシミュレートする必要もあります。その場合、F(k) は既知であり、ファントムに追加することを選択した各マテリアルに関連付けられています。 純粋な結晶粉末のような単純な材料の場合、微分散乱断面積は乗数定数 (密度、トムソン電子半径などが関係する) まで材料の構造因子に比例することに注意してください。 一般に、最新の爆発物に含まれる複合材料の場合、微分散乱断面積はさまざまな分子構造因子の混合物であり、非線形に干渉する可能性もあります。 爆発物を構成するさまざまな成分の分子構造要因を解決しようとすることは、この記事の範囲を超えており、代わりに、材料全体を特徴づける微分散乱断面積にこだわります。

「回折パターン」で説明するように、典型的な結晶の回折パターンには非常に鋭いピークがあり、単一のボクセルおよび単一のエネルギー チャネルにわたって急速に変化します。 素朴な解決策は、ファントムとスペクトルにより細かいグリッドを使用することですが、現在の粗いモデルでもすでに \(10^{18}\) の操作が可能な状態にあるため、コストが法外に高くなります。 さらに、検出器のピクセルと光源の焦点をより小さな領域に再分割する必要があるため、計算は実質的に不可能になります。 この「次元性の呪い」に対する私たちの解決策は、式 1 を実行する前に、各粗い回折経路の幅を持つローパス フィルターで高解像度の回折パターンを汚すことです。 (2)。 「小さいが有限の散乱経路」セクションでは、特定の経路の幅を計算する方法を示します。 最後に、「フォワード プロジェクターとモデル行列」のセクションでは、回折経路の幅を再構成ビンの幅と交差させ、行列係数 \({\mathbb{A} }(m,k)\)。

最後の「コンプトン散乱の背景」セクションでは、既知のバイアスの原因、特にインコヒーレントなコンプトン散乱について説明します。 このバイアスを推定して修正することは可能ですが、そうしないと XRD 再構成の品質が低下します。

セキュリティ スキャナは、回転ソース検出器アセンブリ、または固定多焦点ソース (MFXS) 配置、たとえば利用可能なトンネル スペース内に内接する不規則な多角形のいずれかを使用できます。 私たちの理論モデルはどちらの選択にも適応できます。 この記事では、円形の軌道を持つ回転ソースのみを考慮します。 同様に、検出器は不規則な形状や湾曲した形状を持つこともできますが、ここではフラット パネル検出器の例のみを示します。 関心領域 (ROI) は、サイズ \(L_x = L_y = {200}\,\hbox{mm}\) の正方形です。 ファントムは 3 番目の軸に沿って一定の組成を持っていると仮定します \({\hat{\textbf{z}}} = {\textbf{z}}/|{\textbf{z}}|\) (単位ベクトル)、これは、照射されたファンビームがファントム内のオブジェクトよりも薄い場合に正当化されます。 計算の便宜上、デカルト座標系の原点は ROI の左下隅に選択されます。 ソースが回転する平面が Z 軸の原点を定義します。 したがって、源の軌道は次のように与えられます。

ここで、 \(\rho _{{\text{src}}} = 150\,\hbox{mm}\) はソースから ROI の中央までの距離であり、 \(\alpha = 2\pi ({\ text{src}}/{\text{SRC}})\) はビュー角度です。 \({\text{src}} = 0,1,\ldots ,({\text{SRC}}-1) \) はソースインデックスです。 検出器の軌道は次のように与えられます。

ここで、 \(c = ({\text{col}} - {\text{COL}}/2 + 0.5)*({\text{columnitch}})\) は、中心光線。 検出器の軌道の半径は \(\rho _{\mathrm{\text{det}}} = 170\,\hbox{mm}\) です。 この研究では、検出器列のピッチは 0.5 mm に選択され、最初の検出器行の高さは \(z_0 = 10\,\hbox{mm}\) です (図 3 を参照)。 このオフセットが必要なのは、実際には、光源のサイズが有限であるため、送信ビームのごく一部が \(z=0\) 平面より上に突き出る可能性があるためです。そのため、最初の行はそれを避けるために十分な高さが必要です。 同時に、回折検出器は直接ビームにできるだけ近づけて、多くの XRD ピークがよく見つかる最小の散乱角を捕捉する必要があります。

検出器の表面積に垂直なベクトルは次の式で与えられます。

一方、ソース表面領域 (アノード) は垂直です。

ここで、 \(\beta = {30}^\circ\) は陽極面の傾きです。

式の幾何学係数 G は次のようになります。 (2) は次の用語で構成されます。

すべての散乱経路に対してそのような要因が 1 つあります。これは、図 3 と図 4 に示すように、線源、ボクセル、検出器の間の三角形です。 ソースからボクセルへのベクトルは \({\textbf{a}}\) で、ボクセルから検出器へのベクトルは \({\textbf{b}}\) です。 ボクセルの面内面積 \(\Delta x\Delta y\) は、前の MECT 再構成の空間解像度によって決まります。 この作業では、MECT 画像が利用可能で、解像度が \(\Delta x = \Delta y =1\,\hbox{mm}\) であると仮定します。

照射されたボリューム (図 3 の灰色の領域を参照) はくさびの形状をしており、ビームストップの開口部によって制御されます。 照明されたウェッジの上部は \(\varphi _1 = {0}^\circ\) に設定され、下部は角度 \(\varphi _2 = {-0.5}^\circ\) で傾斜しています (両方とも調整可能)設定）。 したがって、特定のボクセルの厚さは次のようになります。

ここで、 \(a_x\) と \(a_y\) は、ソースからボクセルへのベクトル \({\textbf{a}}\) の面内デカルト座標です。 Z 軸に沿ったボクセルの中央の位置は次のとおりです。

この位置は、\({\textbf{a}}\) と \({\textbf{b}}\) の両方の z 成分を計算するために使用されます。 逆平方長 \(|{\textbf{a}}|^{-2}\) は、ボクセルの位置におけるフォトン フルエンス (表面積あたりのフォトン数) を表します。 ボクセルの厚さ、式に注目してください。 (8)、ソースからボクセルまでの距離に応じて直線的に増加します。 フルエンス係数 \(|{\textbf{a}}|^{-2}\) と組み合わせると、回折光子の数は \(|{\textbf{a}}| ^{-1}\) のように減少します。 。

2 本の脚の間の角度は \(\cos \theta = {\hat{\textbf{a}}} \cdot {\hat{\textbf{b}}}\) です。 これは、真空管などの非偏光 X 線源に適用される偏光係数 \(\left( 1+\cos ^2\theta \right) /2\) を計算するために使用されます 28。 最後に、ボクセルの有利な点から、配向表面積の検出器 \({\textbf{A}}\) が立体角の範囲を定めます。

幾何学的係数 G の全体の単位は mm です。 このセクションでは、ファントムは少なくとも \(\Delta z\) の厚さにわたって均一であると仮定しました。

透過型断層撮影法は通常、30 ～ 180 keV の範囲の硬 X 線で動作します。硬 X 線は、厚い材料を透過するのに必要な弱い減衰を持ちます。 一方、X 線回折は通常、実験室環境で非常に小さなサンプルに対して行われ、銅の K-\(\alpha\) 線である 8.04 keV などのはるかに柔らかい X 線を使用します。 小さなサンプルの場合、ビームの減衰は重要ではありません。検出器で見られる回折ピークの間隔が広がり (式 (31) を参照)、解像度が向上するため、X 線エネルギーが低い方が好まれます。 私たちの組み合わせた透過 \(+\) 回折スキャナは、これら 2 つの極端な中間点に達するはずです。

最適なスペクトルは特定のアプリケーションに依存するため、この論文では、アノード電圧として 80 keV という妥当な値を選択し、最低エネルギーの光子を除去するためにデフォルトの 1 mm アルミニウム フィルターを選択します。 SpekCalc によって提供されるスペクトル値 \(\Phi (E)\) (図 4) は、基準距離 \(a_0 = {100) における \(\hbox{cm}^{2}\) あたりの光子の数を指します。 }\,\hbox{cm}\)、幅 1 keV のエネルギービンごと。 光子の絶対数は、Z スライスごとのソースごとに 0.1ms に設定した露光時間と、10 mA に設定したソース電流に比例しますが、これらの設定は、XRD イメージングのアプリケーションによって大きく異なる可能性があります。 ヒール効果などのスペクトルの異方性特徴は、この作業では考慮されていませんが、現在のアルゴリズム内で実装するのは簡単です。

SpekCalc からのソース スペクトル シミュレーション。 光子の数は、ソース電流と露光時間に比例し、これを 10 mA と 0.1 ms、つまり 1 mC の電子電荷と仮定しました。

この高分解能スペクトルは、およそ

実験研究29および理論研究30で詳しく説明されています。 これらの論文の発表からかなりの年月が経過しているため、エネルギー分解能は 2 倍向上したか、近い将来そうなるだろうと勝手に推測しています。 スペクトルを \(E_{{\text{min}}} = 8\,{\hbox{keV} の間で等距離に配置された適切な数の \({\text{NRG}} = 64\) のエネルギー ビンに離散化します。 }\) および \(E_{{\text{max}}} = 80\,{\hbox{keV}}\)、ビン幅 \(\Delta E = (E_{{\text{max}} } - E_{{\text{min}}})/{\text{NRG}} = 1.125\,\hbox{keV}\)、これはエネルギー分解能範囲 \(\sigma = 0.905) の下端にあります-1.805\,\hbox{keV}\)。 ソースエネルギービンはインデックス \({\text{nrgsrc}} = 1,2,\ldots ,{\text{NRG}}\) でラベル付けされ、同様に検出器エネルギービンはインデックス \({ \text{nrgdet}} = 1,2,\ldots ,{\text{NRG}}\)。 次に、検出器ビン nrgdet でビン nrgsrc からソース光子を捕捉する効率を計算できます。

積分の限界 (ビンのエッジ) は次の式で与えられます。

式の結果 (12) は光子の無次元数であり、図 5 に示されています。言い換えると、\(\eta (\text{nrgsrc}, \text{nrgdet})\) は光源スペクトルと検出器の畳み込みです。すべてのビンペアの解像度。 検出器のゲインは 1 であると仮定しましたが、実際にはピクセルごとに校正し、その結果を式 1 に組み込む必要があります。 (12)。

検出器の応答とソーススペクトルの畳み込み。 対角線から離れると急速に低下するため、スペクトル全体の合計に左右の 5 つのビンのみを使用します (式 (2) を参照)。したがって、64 項すべてではなく、合計 11 項になります。

この研究で使用されるファントムは図 1 に示されており、図 2 の灰色の領域に対応します。これは \((\text{NX}=200) \times (\text{NY} = 200)\ で構成されます。 ) サイズ 1 mm\(^2\) のボクセル。 このファントムに対して、透過検出器のデータを使用してマルチエネルギーコンピュータ断層撮影 (MECT) が実行されたと仮定します。図 3 の透過検出器を参照してください。MECT の結果は、それぞれのエネルギーの関数としての X 線減衰係数です。ポイント

ファントムの。 参考文献 31 は、X 線の減衰が光電係数 (\(a_1\)) とコンプトン係数 (\(a_2\)) の合計として適切に近似できることを示しています。

エネルギー基底関数は次のように与えられます。

ここで \(\varepsilon = E/m_ec^2\) は無次元光子のエネルギーです (つまり、電子の静止エネルギー \(m_ec^2\) で割った値) です。 この論文では、MECT 再構成が理想的であるという楽観的な仮定を立てます。その場合、各材料の係数は次と同じになるはずです。

ここで、\(n=4.2\) と \(K_1 = 1.047\times 10^{-7}\,\hbox{cm}^{2}/\hbox{mol}\) は経験的なパラメータですが、\(K_2 = 2\pi r_e^2 N_A = 0.30\,\hbox{cm}^2/\hbox{mol}\) は、古典的な電子半径 \(r_e\) とアボガドロ数 \(該当なし\)。 他の記号は次のとおりです。

\(\rho\) は材料の質量密度 (g/cm\(^{3}\))、

\(N_{1,2,\ldots }\) は原子の数です。

\(Z_{1,2,\ldots }\) は原子番号であり、

\(M_{1,2,\ldots }\) は原子量です。

たとえば、硝酸アンモニウムの化学組成は \(\text{NH}_4\text{NO}_3\) で、この表記では \(Z=[1,7,8]\), \(N= [4,2,3]\)、および \(M = [1.00784,\,14.0067,\,15.999]\,\hbox{g mol}^{-1}\)。

式で述べた光子の生存確率は次のようになります。 (2) は次のように与えられます。

シミュレーションでは、線積分はボクセル サイズ (1 として定義される内部の長さの単位、つまり \(\Delta x = \Delta y) のステップ サイズ \(\Delta r = 0.25\) の離散和に置き換えられます。 = 1\)、その他すべての長さはこれに相対します)。 一般に、ラインに沿ったクエリ点はデカルト グリッド上のボクセルの位置と一致しないため、(\({a}_1({\textbf{r}})\) の値を取得します。 \({a}_2({\textbf{r}})\)) は双線形補間を使用し、関心領域 (ROI) の外側ではゼロであると仮定します。

XRD 研究の大部分は、散乱強度を任意の単位で報告します。 これは、回折ピークの位置と相対強度のみから推測できる結晶構造を決定するのに十分です。 一方、XRD イメージング システムで考慮すべき重要な点は光子束であり、光子束は絶対単位での散乱断面積に依存します。 このステップは、磁束と、個々の XRD ピークを分解するために必要な波数ベクトル伝達 q の精度との間でバランスのとれたシステムを設計するために重要です。 現在、強度校正は限られた数の状況でのみ実験的に実行可能です。 特に、小角 X 線散乱 (SAXS) 装置は、絶対スケールで校正されることがあります。これは、その幾何学形状ではエワルド球が平面であると想定でき、検出器面がそれに完全に一致するためです。 広角 X 線散乱 (WAXS) では、この仮定は適用できず、球面の接線との角度について追加の補正が必要です。 このことやその他の複雑な問題のため、ほとんどの作成者は、XRD はおろか、WAXS データのキャリブレーションも試みません。 現在、SAXS と WAXS の両方のマシンで同じサンプルを使用して実行され、q 範囲に重複がある研究がいくつか存在します。これにより、2 つのデータセットの簡単な相互校正が可能になります。 利用可能な例には、ベヘン酸銀 33、NiBpene フレキシブル MOF (金属有機フレームワーク) 34、およびアイソタクチック ポリプロピレン 35、36 が含まれます。

セキュリティ、ヘルスケア、製造に関係する一般的な材料の場合、絶対的な XRD 強度の校正はすぐには利用できません。 それにもかかわらず、理論的なレイリー関数とコンプトン関数 R(q) および C(q) を使用して、散乱のバックグラウンド レベルを大まかに予測できます。これらの関数は、Ref.37 に周期表の各原子について表にまとめられています。 複数の原子種を含む材料の場合、単位体積あたりの微分散乱断面積は次のようになります。

ここで、\(\rho\) は質量密度、\(N_{1,2,\ldots }\) は特定の原子種の数、\(M_{1,2,\ldots }\) は原子重さ。 古典的な電子半径は \(r_e = 2.818\times 10^{-15}\,\hbox{m}\) ですが、アボガドロ数は \(N_A = 6.022\times ^{23}\,\hbox{mol) です。 }^{-1}\)。 コンプトン (インコヒーレント) 寄与はすべての材料に対して正確ですが、レイリー (コヒーレント) 成分は原子が空間内にランダムに分布している場合にのみ適用されます。 実際の材料では、原子構造はランダムとはほど遠いため、レイリー成分に強め合う干渉のピークと弱め合う干渉の谷が生じます。 おおよそ、測定された XRD 信号の底部は理論上のコンプトン散乱と同じくらい低くなり、ピークのベースライン (変曲点) は理論上のレイリー \(+\) コンプトン曲線の位置にほぼ一致する可能性があります。 これらの経験則を使用して、図 6 に示すようにアルミニウム XRD データの振幅を調整しました。また、実験的に校正されたデータが利用可能な 1 つのケース (アイソタクティック ポリプロピレン 36) で経験則の妥当性を評価することもできました。 、示されていません）、2 つの曲線は十分に同じ程度の範囲内にありました。

アルミニウム合金の実験的 XRD パターン 32。コンプトン項とレイリー項で構成される理論上の非回折散乱にほぼ一致するように、\(\hbox{cm}^{-1}\) の絶対スケールに再スケールしました。 実験的な XRD データが目的の範囲である 0.5 ～ 6 Å\(^{-1}\) を完全にカバーしていない場合は、同じ組成の非回折材料の理論データを使用します。

補足として、分極係数 \(\left( 1+\cos ^2\theta \right) /2\) は、公開されている XRD データでは考慮されていないことが多いことに言及します。 データは低エネルギー X 線を使用して収集されることが多いため、シミュレーションでデータを使用する前に、データを独自の偏光係数で除算する必要があります。 この補正は最大 2 倍の大幅な補正になる可能性があり、含めることが重要です。なぜなら、当社の XRD イメージング スキャナははるかに高いエネルギーの X 線を使用するため、特定の q 値での回折ピークは実質的に小さい散乱角で現れるからです \(\シータ\)。

グランド トゥルース (順投影) を計算するには、式 1 の断面が必要になります。 (2) は、式 (2) からの散乱経路の幅で高解像度 XRD データをスミアすることによって得られます。 (32):

高品質の結晶の回折パターンには、多くの場合、非常にシャープで狭いピークがあります (図 6 を参照)。 それらを測定するには、波数ベクトル伝達 q の実験的不確実性が固有のピーク幅よりも大幅に小さくなければなりません。 XRD 断層撮影装置の q 解像度は、ラボ用の専用回折計に比べてかなり低いため、再構成されたパターンは不鮮明になります。 スミアリングを定量化するために、この章では、図 7 に示すように、現実的な有限サイズの散乱経路の分解能公式を導き出します。q の精度は、光源とボクセルのサイズ、および検出器のサイズとエネルギー感度。

典型的な散乱ジオメトリ。入力 \({\hat{\textbf{a}}}\) と出力 \({\hat{\textbf{b}}}\) の波数ベクトルによって定義されます。 一般性を高めるために、2 つのベクトルは等しくないものとします。 また、主な不確実性 \(\デルタ q\) (式 (32) を参照)。 大きな円は、有限サイズの光源、ボクセル、および検出器領域を示しています。 一般に、3 つの領域は、式 1、2、3 で説明されているように、任意の非円形の形状を持つことができることに注意してください。 (34)～(37)。 これらの領域内の特定の点は、それぞれベクトル \({\textbf{s}}\)、\({\textbf{v}}\)、\({\textbf{d}}\) でラベル付けされます (図示せず) ）。

エネルギー E の光子の、線源の中心からボクセルの中心、そして検出器の中心まで移動する平均波数ベクトルは、次の式で与えられます。

ここで \(\hbar c= 1.973\) keV Å はプランク定数に光速を掛けたものです。 3 つの位置はすべて有限のサイズを持ち、エネルギー チャネルの幅も有限であるため、各回折経路の波数ベクトル伝達は平均値付近で有限の分布を持ちます。 連鎖則を式に適用します。 (22) 正味の変化を求めるには、次のようにします。

ここでは、チャネル E の平均に対する X 線エネルギーの小さな差にラベルを付けるために \(e=\Delta E\) を使用しました。幾何学的広がりについては、小さなベクトル \({\ textbf{v}}\) をボクセルの中心から離します。 これにより、ソースからボクセルへのベクトルが新しい値に変更されます。

したがって、到来波の方向の違いは次のようになります。

ボクセル サイズ v がソースからボクセルまでの距離 a よりもはるかに小さい場合、高次の項を無視することは十分に正当化されます。 線形化された式は、後の方程式で役立ちます。 (32) ここで、散乱経路の平均二乗幅を計算します。 正確な平均二乗幅を計算するには、考えられる回折経路ごとに 10 次元の積分 (エネルギーと 3D の 3 点) が必要となるため、非常にコストがかかります。

導出の次のステップは、ソースと検出器のサイズも有限にすることです。これは、から遠ざかる方向を指す小さなベクトル \({\textbf{s}}\) と \({\textbf{d}}\) によって記述されます。それぞれの中心 (図 7 の円)。 言い換えれば、任意の中心を外れた散乱経路は、次の 2 つの修正された脚部で構成されます。

次に、式を一般化します。 (25) を式と組み合わせます。 (23) 波数ベクトル伝達の完全な変化を求める (s、v、d において 1 次まで正確):

等方性材料の場合、変化の大きさのみが重要です。

\((\Delta q)^2\) 以上の次の項を無視すると、式は次のようになります。

ここでは 3 つの補助ベクトルを定義しました。

平均波数ベクトル伝達の振幅を使用しました

現実的な回折信号を計算するための重要な量は、特定の散乱経路の平均二乗幅です。

これには、エネルギーの範囲と、ソース、ボクセル、検出器のゼロ以外のサイズという 4 つの寄与が含まれています。 十分に小さいビンの場合、各エネルギー ビン内のエネルギー分布は一定 (均一) であると仮定でき、その結果、次のようになります。

線源のサイズは、X 線を放出する点の空間分布を指します。 一般に、これは 3 次元スカラー関数 \(\rho ({\textbf{s}})\) (正規化されていると仮定します \(\int \rho ({\textbf{s}})\; d{\textbf {s}} = 1\)) そして私たちにとって関連する瞬間は

この論文では、\(\rho ({\textbf{s}})\) の詳細な形状を調査せず、代わりに単純化したモデル、つまり法線ベクトルが次の式で与えられるアノード表面積の平坦な正方形パッチを仮定します。 \({\hat{\textbf{n}}}\)。 この場合、式 (33) 一般化すると、

ここで、 \(\Delta s = 0.5\,\hbox{mm}\) は、X 線を放出する長方形のパッチ、つまり焦点の辺の長さです。 同じ式が検出器にも適用され、表面積 \(|{\textbf{A}}| = 0.5\,\hbox{mm}^2\) の長方形に設定します。

最後に、ボクセルは密度が均一な直方体としてモデル化されます。この場合、式は次のように一般化されます。

これで、予想される光子の数 (式 1) の計算を実行するためのすべての要素が揃いました。 (2)。 逆計算を実行するには、まず q 軸を NWT 有限サイズのビンに離散化する必要があります。 一般に、ビンは固有の物理的なスキャナ解像度 \(\sqrt{\langle \Delta q^2\rangle }\) よりも若干小さくする必要があります。 それよりもはるかに細かい解像度で再構成を試みることは無駄です。特に、行列のサイズと計算時間にはすでに限界があり、実際に計算するには多大な労力が必要になるためです。 このプロジェクトでは、\(\sqrt{\langle \Delta q^2\rangle }\) の自然な動作にほぼ従うように不等間隔に配置された \(\text{NWT} = 256\) の再構成ビンを使用します。 さらに、計算を高速化するために、\(q_{\text{min}} = 0.5\) Å−1 および \(q_{\text{max}} = {6.0} の範囲外では回折信号をゼロに設定します。 \) 順問題と逆問題の両方で Å−1。 実際には、少量の回折光子がこの範囲を超えて検出器に到達する可能性があり、式 1 に示すように、一般的なバックグラウンド バイアスとしてこれに対処できます。 (1) ですが、これは現在の作業の範囲を超えています。 再構成ビン nwt の左端を次のように定義します。

ここで、 \(dq_0 = 0.01\) Å−1 は最初のビンの幅です。 右端 \(q_{\text{right}}(\text{nwt})\) も同じですが、nwt の代わりに \(\hbox{nwt}+1\) が付いています。 ビンの平均波数ベクトルは次のとおりです。

行列 \({\mathbb{A}}\) の (m,k) 番目の要素は、再構成ビンと各物理的経路の交差の合計です。

上の方程式には、回折パターン F を除くスキャンのあらゆる側面がどのように含まれているかに注目してください。行列の有効性を検証するには、ビン平均散乱クロスから作成された列ベクトル (式 (1) を参照) を乗算します。セクション:

結果として得られる光子数 N(m) は、直接のグラウンド トゥルースの合計 (式 (2)) から得られるものに近いですが、離散化の有限サイズによる小さな差はあります (図示せず)。

方程式にはバイアスの原因が多数存在する可能性があります。 eqrefmatrixproduct は、不完全な計測機器 (検出器のぼやけ、遅延)、および散乱などの二次的な X 線現象によるものです。 ここでは、より高いエネルギーと散乱角で顕著になる可能性があるインコヒーレント (コンプトン) 散乱によるバイアスを考慮します。 単一散乱コンプトン信号を取得するには、前述の XRD 計算に少し追加するだけで済みます。 多重散乱（コヒーレント、インコヒーレント、およびそれらの組み合わせの両方）はこの研究の範囲を超えていますが、XRD トモグラフィーに関連して文献である程度の進歩が報告されています 38。 コンプトン散乱光子の数は、式 1 と同様に計算されます。 (2) ただし、散乱断面積 F がハッベルのテーブルから補間されたものに置き換えられる点は異なります。図 8 を参照してください。これは、各材料の光電係数およびコンプトン係数 \(a_1\) および \(a_2\) に依存します。これは送信 MECT から入手できるとすでに想定されています。 また、インコヒーレント散乱断面積は q に応じて滑らかに変化するため、事前平均する必要がないこともわかります (つまり、散乱経路の幅全体にわたって一定であると仮定できます \(\sqrt{\langle ( \デルタ q)^2 \rangle }\))。 ただし、コンプトン散乱は非弾性であることに注意してください。これは、電子が運動量の一部を運び去り、光子の波数ベクトル伝達が変化することを意味します。

上の方程式は無次元単位であり、図 8 に示すように表形式の断面データを取得するために使用されます。記号 \(\epsilon\) は

これは、出射するフォトンのエネルギーを計算するためにも使用されます。

上の方程式を入射ソース光子エネルギー ビンの左端と右端に適用すると、出射エネルギー バンドの 2 つの端 \(E_{\text{out1}}\) と \(E_{\text {out2}}\)。 次に、この範囲を検出器のエネルギー チャネル範囲と重ねます。

上記の無次元オーバーラップの重みは、式 2 の合計に入るすべての項と乗算されます。 (2)。 つまり、線形補間で累積を行っています。 より単純な最近傍アプローチも可能ですが、XRD 合計コードにはすでにすべての検出器エネルギー チャネルが含まれているため、コンプトンのプログラム構造も同様に再利用します。 最後に、コンプトン散乱の場合、式の偏光係数は次のようになります。 (7) は、クライン・仁科関数で置き換える必要があります。

ここで、 \(\epsilon = E_{\text{in}}/E_{\text{out}}\ge 1\) は、入ってくるエネルギーと出ていくエネルギーの比です。 小さなエネルギーおよび/または散乱角の限界では、クライン・仁科因子は偏光因子 \(\left( 1+\cos ^2\theta \right) /2\) に戻ります。

MECT 出力 (\(a_1\)、\(a_2\)) からコンプトン散乱断面積へのマップ。 波数ベクトルの伝達は、無次元単位 \(q\hbar /mc/2\) で表されます。 どちらの入力も基数 2 の対数軸上にあり、Ref.37 で入手可能なハッベルの不等間隔データ (左) を補間することによって得られる規則的な 64x64 グリッド (右) を使用して迅速に検索できます。 ルックアップ テーブルは [0, 255] の範囲に正規化されているため、8 ビット整数として保存して、重要な共有メモリの使用量を削減できます。

私たちの例のファントム (図 1) には、低密度セルロース (衣服に似た) で作られた 3 つの大きな物体が含まれており、その内側に包まれたいくつかの回折物体、1 つは良性 (アルミニウム合金)、2 つは脅威 (両方とも硝酸アンモニウム) です。 すべての物体はかなり大きくて丸いため、送信 MECT データは非常に優れており、既知であると想定される正確な画像セグメンテーションが可能になるはずです。 グランド トゥルースは、文献で入手可能な実験的に測定された高解像度の XRD データをデジタル化することによって得られます。 また、減衰をシミュレートするには、各材料の密度と化学組成も必要です (「ビーム減衰」セクションを参照)。 以下の文献情報源を使用しました。

セルロースは参考文献 39 から取得されており、密度 0.1g/cm\(^{3}\) が衣類の妥当なモデルであると仮定します。

アルミニウム合金は参考文献 32 から引用されており、同じ論文に記載されている組成を使用しています。

硝酸アンモニウムはRef.40から取得されます。 これは危険な物質であり、一般に肥料として使用されますが、意図的かどうかに関係なく、簡単に爆発する可能性があります。

「回折パターン」セクションで説明したように、上記のデータを絶対スケールで校正し、単位体積あたりの微分散乱断面積 (偏光係数なし) を生成します。 \(V^{-1}(d\sigma / d\オメガ )_{\text{XRD}}\)。

文献からの実験室用 XRD の分解能は、私たちが提案する空港スキャナーの分解能をはるかに上回っているため、式に示すように、個々の回折経路の幅 \(\langle (\Delta q)^2\rangle\) にわたってグラウンド トゥルースを塗りつぶす必要があります。 。 (21)。 次に、式を適用します。 (2) 各測定の予想される XRD フォトン数を計算します。 セクション refsec:compton で説明されているように、インコヒーレント コンプトン散乱も追加します。 最後に、式 1 に示すように、ポアソン乱数発生器を使用してフォトン カウンティング ノイズをシミュレートします。 eqrefmatrix製品。 この順方向シミュレーションの 1 つの 2D スライスを図 9 に 2D で示し、1D スライスを図 10 (青い階段) に示します。

式 1 で説明したようにポアソン ノイズが追加された、決定論的順シミュレーションの 1 つのスライス。 (1)。 この検出器のスナップショットには合計で約 44,000 個の光子が含まれており、32 個の光源位置すべてで約 1,100,000 個の光子が存在します。

図 9 のノイズを含む測定値の 1 次元スライス。比較のために、光子の数 \({\textbf{N}} = {\mathbb{A}}\cdot {\textbf{F}}+{ \text{bias}}\)、再構成された \({\textbf{F}}\) と、フォトン数のノイズのないグラウンド トゥルース計算 (式 1) を使用して計算されます。 (2)。

XRD 再構成 (イメージング ワークフローのステップ 4) を実行するには、まず式 1 を使用してモデル行列 \({\mathbb{A}}\) を計算します。 (40)。 結果（1 つのスライス）を図 11 に示します。この計算には事前の MECT 再構成が必要です。これにより、高い空間解像度で光電係数とコンプトン係数 \((a_1, a_2)\) が得られます (図 1 を参照)。 さらに、\((a_1,a_2)\) を使用して、XRD 検出器に当たると予想されるレイリー散乱とコンプトン散乱をシミュレートします (図 8 を参照)。 シミュレートされたコンプトン寄与はバイアスを補正するために使用され、レイリー寄与は反復再構成スキームの開始点 \({\textbf{F}}^{(0)}\) として使用できます。 ここでは、必ずしも高速であるとは限りませんが、強いポアソン ノイズに対して堅牢な Lucy-Richardson アルゴリズムを適用します。

上の方程式では、星形 (\(*\)) 記号と除算は点単位の演算であり、ドット (\(\cdot\)) 記号は行列とベクトルの積です。 分母のバイアスはシミュレートされたコンプトン散乱であり、常に正であるため、分母がゼロになることはありません。 このアルゴリズムは乗算的であり、解が負でないことを保証します。 各反復では、ポアソン尤度コスト関数が減少することが保証されており、これは非常に少ないフォトン数に適しています。 通常、解は数百回の反復以内に収束しますが、これは行列 \({\mathbb{A}}\) 自体を構築するよりもはるかに高速です。

完全な 5D 行列 \({\mathbb{A}}\) の 1 つの 3D 断面を示しています。 これらの係数は、残りの 2 つの次元、つまり光源と検出器のペア (ここでは 1 つのペアのみを示しています) にも依存することに注意してください。 特に、未知の物質 No. 3 の他のペアには 30 keV を超える非ゼロの重みがさらに多くあり、そのすべてが再構成に使用されます。 行列 \({\mathbb{A}}\) は材料の性質に依存しません。 3 つの未知の物質の正体は、再構成と既知の回折パターンのデータベースに対するフィンガープリンティングの後にのみ明らかになります。

XRD イメージング ワークフローの最後のステップは、再構成された回折パターンを既知の材料のデータベースに対してフィンガープリンティングすることです (ステップ 5)。 このようなデータベースの構築は将来のプロジェクトです。 今のところ、線形スケールと対数スケールで示される初期のグラウンド トゥルースと再構成結果のみを比較します (図 12)。 予想どおり、再構築された各曲線は基本的にグラウンド トゥルースの低解像度バージョンです。 今のところ、線形スケールと対数スケールで視覚的に検査し、定性的な一致を観察するだけです。 私たちは、再構築されたパターンがデータベースからの高解像度パターンとどの程度一致するかを定量化するための性能指数 (FOM) を開発していません。 二乗誤差の合計 (線形スケールまたは対数スケール) のような単純な FOM は、実際のスキャナにとって十分な堅牢性を備えていない可能性があります。 たとえば、再構成されたパターンを q 軸に沿ってシフトする校正誤差が存在する可能性があります。この場合、パターン全体の形状は正しいにもかかわらず、二乗誤差が大きくなります。 より堅牢な FOM としては、Earth Mover's Distance (参考文献 41)、または実際のスーツケースでトレーニングされた 1D ディープ ニューラル ネットワーク (参考文献 42) が挙げられます。

再構成された回折パターンとグラウンド トゥルースの回折パターン。 セルロースは非晶質材料であるため、その回折ピークは非常に幅広く、当社の低解像度 XRD トモグラフィーで容易に測定できます。 他の 2 つのマテリアルは非常に結晶性が高く、サンプル スキャナーの解像度の約 10 倍です。 それにもかかわらず、3 つの物質は依然として明確に区別できます。 特に、ある物質は既知の脅威と一致します (硝酸アンモニウム)。 したがって、スーツケースに手動検索用のフラグを付けることができます。 他の良性物質も同様の再構成 (偽陽性) を引き起こした可能性があります。 ただし、スキャナーは、再構築されたパターンが既知の脅威と一致しない場合にスーツケースを手動で検索する必要性を軽減するため、依然として有用なスクリーニング ツールです。 偽陽性の割合は、たとえばスリット開口部を狭くすることによって減らすことができます (式 1)。 (37) これにより、解像度は向上しますが、光束が低下するため、スクリーニング時間が延長されます。

フィンガープリンティングはさておき、式 1 の結果に対して健全性チェックを実行します。 (47)。 再構成された \({\textbf{F}}\) を式に戻します。 (1) を計算し、結果の積を図 10 の赤い円としてプロットします。予想どおり、結果はノイズのないフォワード モデル (黒い破線) と非常によく似ています。 要約すると、このセクションでは、(1) 文献のグラウンド トゥルース データを使用して順シミュレーションを実行し、(2) ポアソン ノイズを適用し、(3) Lucy-Richardson アルゴリズムを使用してノイズの多い測定を逆変換し、(4) 結果を順投影しました。再構築された回折パターンはグラウンド トゥルースに似ていますが、予想どおり解像度が低くなります。

この記事は、文献概要の「文献概要」セクションから始めました。このセクションには、XRD トモグラフィーの実験的および現実世界のアプリケーションが多数含まれています。 大きなファントムから複数の XRD パターンを再構成するというアイデアが有効であり、実際に機能することは疑いの余地がありません。 直観的にだけでなく文献からも、コリメーションが少ないジオメトリではフォトン フラックスが高くなることが明らかです。 ただし、フラックスと再構成品質の関係は線形ではないことに注意してください。 ポアソン統計 43 から、ショット ノイズによる再構成誤差は、検出された光子の数の逆二乗、つまり \(1/\sqrt{N}\) に比例することがわかります。 この関数は、N が大きいときはほぼ平坦ですが、\(N\rightarrow 0\) になるほど急激に増加します。 その結果、光束が非常に低い場合、すべての光子は貴重であり、光束をわずかに増加させるだけで、測定が大幅に向上します。

私たちの主な貢献は、最小限にコリメートされたスキャンから XRD パターンを再構築する方法を示すことでした。 図 10 に示すように、結果の数値的品質は非常に良好です。グラウンド トゥルースの順投影 (黒い破線) と再構成されたデータの順投影 (赤い円) の一致によって証明されます。 もちろん、実際には、再構成の品質を低下させるアーティファクトが多数存在します。 特に、重要な方程式、Eq. (32) には、焦点のサイズ、ボクセルの厚さ、および検出器ピクセルの単純化された理論的入力が含まれています。 また、Eq. (12) では、光源スペクトルに対して理論的な SpekCalc シミュレーションを使用し、完全な検出器効率を仮定しています。 実際には、このような入力は特定のスキャナに対して実験的に調整する必要がありますが、方程式の関数形式は有効なままである必要があります。

再構成された XRD パターンの解像度は主に、利用可能な X 線検出器のエネルギー感度によって制限されます。式 1 を参照してください。 (11)。 このハードウェアパラメータは私たちの制御の外にありますが、特に空港セキュリティのような大規模な市場がそれを要求し始めた場合、技術には改善の余地があります。 私たちが制御できるもう 1 つの重要なパラメーターは、ボクセルの厚さを決定するスリット開口部 \(\varphi _1-\varphi _2\) です (式 1)。 (8)。 この開口部は光子束に直接比例しますが、式 1 のように解像度も低下します。 (32)、補助ベクトル \({\textbf{V}}\) には z 軸に沿った大きな成分があるため、図 7 を参照してください。典型的な MECT スキャナの開口部は 1-2\(^\circ\ )、一方、一般的な XRD マシンは \(0.02^{\circ }\)44 に近いビーム発散を持っています。 ここでは、妥当な中間点である 0.5\(^\circ\) を仮定しましたが、このパラメータは実際のスキャナでさらに調整する必要があります。

私たちが使用した再構成アルゴリズムは、式 1 です。 (47) はかなり一般的であり、XRD イメージング特有の課題を考慮すると最適とは程遠いかもしれません。 特に、私たちのモデルは \({\mathcal{O}}(10^6)\) 方程式 (関連するソース、検出器、エネルギー ビンごとに 1 つ) と \({\mathcal{O}}( 10^3)​​\) の未知数。これは少数の一次元回折パターンです。 額面どおりに見ると、これは高度に過剰決定されたシステムのように見えるため、解決するのは簡単なはずです。 ただし、各方程式に含まれる情報は強く重複しています。 この冗長性は、本質的に解像度が低いことに起因します。 さらに、フォトン数が非常に少ない場合があり、その結果、多くの測定値がゼロカウントになります (出力がまばらになります)。 最後に、回折パターンは任意のランダムな形状を自由に仮定できるわけではないため、\({\mathcal{O}}(10^3)​​\) の未知数のうち、おそらく \({\mathcal{O}}(10) \) は真に独立しています。 要約すると、測定値の分解能が低くノイズが高いことを十分に予測しながら、100 万回の測定値から数十の自由度を再構成する必要があります。 これは複雑な問題であり、次のようなより高度な再構成技術が役立つ可能性があります。

エッジ保持とディテール保持の正則化、

適切な基底（ウェーブレット基底など）でスパース性を強制する。

低次元関数空間 (例: 滑らかな背景と、位置と高さが不明ないくつかのスパイク) から回折パターンを検索します。

深層学習については、参考文献 45、46、47、48 を参照してください。

私たちが遭遇した課題の多くは、空港のセキュリティに特有のものです。 スーツケースに含まれる素材のサイズ、形状、組成は非常に多様であるため、X 線イメージングには特に要求の厳しい分野です。 その一方で、ヘルスケアや製造品質管理など、空港セキュリティ以外の分野でも XRD トモグラフィーに大きな関心が寄せられています。 例としては、特に 3D プリンティングの品質管理のための、コンクリート 49 や金属 50 の画像欠陥が挙げられます 51。 透過断層撮影の分解能は \({\mathcal{O}}(10^{-3}\,\hbox{m})\) ですが、回折断層撮影では \({\mathcal{O}} の詳細を明らかにすることができます。 (10^{-9}\,\hbox{m})\) の範囲。 材料のナノ構造は、再構成された回折パターンに分子モデルを当てはめることによって推定できます。 たとえば、\(q=1\) Å−1 で回折ピークを測定すると、ブラッグの法則によれば、それは \(d=2\pi /q = 0.63\,\ の間隔を持つ原子の格子に対応します) hbox{nm}\)。 このような情報は、骨のナノ構造 52 や人間の乳房などの軟組織の石灰化を明らかにするために使用されています 53。

上記のような特定の用途では、回折材料の数は少数しかなく、多くの場合、事前にわかっています。 さらに、MECT モダリティは、すべての空間情報 (物体の位置、形状) に加え、材料組成に関する一部の情報 (密度および平均原子番号) も提供します。 多くの場合、X 線スキャンの目的は、単純な「はい/いいえ」の質問 (脅威か良性か、癌か健康かなど) に答えることです。 その場合、コストがかかりエラーが発生しやすい XRD 逆変換 (式 1) を実行する必要はなくなる可能性があります。 (47)。 式 1 を使用してフォワード シミュレーションを実行する方が、はるかに高速かつ堅牢になる可能性があります。 (2) 既知の回折パターンのリスト \({\textbf{F}}\)。 次に必要なのは、考えられる材料のセットのうちどれが測定値 \({\textbf{N}}\) に最も近いデータを生成するかを確認することだけです。 空港の警備という困難なケースであっても、密輸されるのはせいぜい数十種類の爆発物と数種類の麻薬だけだ。 最も一般的な脅威のほんの一部について、費用対効果の高い方法で検出精度を高めることができれば、法執行機関にとって大きな助けとなるでしょう。

この研究では、XRD トモグラフィーを使用して大型ファントムから複数の材料を識別する方法を示しました。 セットアップは基本的にファンビーム MECT と同じですが、ファンの片側 (または両側) に追加の検出器が付いています。 回折した光子のみがそれらの領域に到達できるため、検出器がなければ、それらによって運ばれる情報は失われます。 この設計では、ファンビーム MECT で必要なコリメータ以外のコリメータが存在しないため、可能な限り最高の XRD 光子束が得られます。 透過のみの場合、MECT はボクセルごとに 2 つの数値 (光電係数とコンプトン係数) しか生成できません。 私たちの再構成は、実験室での少量サンプルの XRD の品質には程遠いものの、2 つの数値よりもはるかに多くの情報を提供します (図 12 を参照)。

結論として、既存の CT スキャナに対する XRD イメージングのアドオンは実現可能であり、追加の検出器を 1 ～ 2 つ設置し、適切な再構成ソフトウェアを開発するという低コストで、材料固有の固有の情報を提供するのに適しています。

現在の研究中に生成されたデータセットは、法的制限により公開されていませんが、合理的な要求に応じて責任著者から入手できます。

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セントラルフロリダ大学および iTomography Corporation の Alexander Katsevich 氏、および iTomography Corporation の Michael Frenkel 氏は、この記事の初期草稿に対して有益な提案とコメントを提供してくれました。 Rapiscan Systems の William Thompson と Edward Morton は、この調査中に開発された GPU ソフトウェアの一部をレビューし、有益なフィードバックを提供しました。 私たちは、Rapiscan Systems の Anders Priest および Jacob Conn との X 線画像技術に関する議論を認めます。 SAXS および WAXS データの校正に関して、ESRF の Theyencheri Narayanan と有益なやり取りを行ったことに感謝します。

この研究は、競争的に獲得した契約: 70-RSAT-18-C-B0000047 に基づいて、米国土安全保障省科学技術総局から資金の一部を提供されました。 この支援は、政府側の明示または黙示の承認を構成するものではありません。 この研究で使用された Titan V は、NVIDIA Corporation から寄贈されました。

iTomography Corporation、ヒューストン、テキサス州、77021、米国

アイリダス・コロルコフ

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AK は調査を実行し、方程式を導き出し、CUDA ソフトウェアを開発し、結果を得て、記事を書きました。

アイリダス・コロルコヴァスへの対応。

著者は競合する利害関係を宣言しません。

シュプリンガー ネイチャーは、発行された地図および所属機関における管轄権の主張に関して中立を保ちます。

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転載と許可

Korolkovas, A. 材料の識別を強化するための高速 X 線回折 (XRD) トモグラフィー。 Sci Rep 12、19097 (2022)。 https://doi.org/10.1038/s41598-022-23396-2

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受信日: 2022 年 7 月 6 日

受理日: 2022 年 10 月 31 日

公開日: 2022 年 11 月 9 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-23396-2

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